Ted talk · Section 1

有多少种方法可以证明勾股定理

欧几里得， 十二岁的爱因斯坦，

Level: HSK6 · 80 sentences

Transcript

  1. 欧几里得，
  2. 十二岁的爱因斯坦，
  3. 以及美国总统詹姆斯·加菲尔德， 有什么共同点？
  4. 他们都对毕达哥拉斯定理 （勾股定理）做出了精彩的证明，
  5. 这个定理是说，对于一个直角三角形，
  6. 一边的平方加上另一边的平方，
  7. 等于斜边的平方。
  8. 换句话说，a²+b²=c²。
  9. 这是几何学中最基本的定理之一，
  10. 也是实际应用的基础，
  11. 比如建造稳定的建筑， 或对GPS点进行三角测量。
  12. 这个定理以毕达哥拉斯命名，
  13. 他是公元前6世纪的希腊哲学家和数学家，
  14. 但是该定理在此之前的 1000多年就出现了。
  15. 公元前1800年的巴比伦石板上列出了
  16. 满足该定理的15组数字。
  17. 一些历史学家认为， 古埃及勘测员
  18. 利用譬如3，4，5的数组， 来形成直角。
  19. 该理论认为勘测员可以伸展 一个被绳结分成12份的绳子，
  20. 来形成边长为3，4，5的三角形。
  21. 根据毕达哥拉斯的逆定理，
  22. 这就可以形成一个直角三角形，
  23. 因此，便可形成直角。
  24. 已知最早的印度数学记录
  25. 出现在公元前800至600年间，
  26. 其说明穿过正方形对角线的绳子，
  27. 可以产生比原来正方形 面积大一倍的正方形。
  28. 这种关系源于毕达哥拉斯定理。
  29. 但是我们怎么知道这个定理
  30. 对平面上的每个直角三角形都成立，
  31. 而不是一些数学家和勘测员所推测的呢？
  32. 因为我们可以证明它。
  33. 利用现有的数学定理和逻辑，
  34. 我们可以证明该定理总是成立。
  35. 经典证明是毕达哥拉斯自己做出的，
  36. 他利用了一种名叫排列的证明方法。
  37. 取四个全等的直角三角形， 两边分别长a和b，
  38. 斜边长c。
  39. 将它们排列， 使它们的斜边形成一个正方形。
  40. 这个正方形的面积是c²。
  41. 现在，重新将三角形排列成两个长方形，
  42. 让各边形成一个小的正方形。
  43. 这些正方形的面积分别为a²和b²。
  44. 这就是关键。
  45. 图形的总面积没有改变，
  46. 三角形的面积没有改变。
  47. 所以第一幅图中的空白部分，c²，
  48. 必须等于另一幅图中的空白部分，
  49. a² + b² 。 另 一 种 证明 来自 希腊 数学家 欧几 里 得 ，
  50. 这种证明也被2000年后12岁的
  51. 爱因斯坦提出。
  52. 这种证明将一个直角三角形 分为两个部分，
  53. 利用了如下定理， 如果两个三角形对应的角
  54. 相同，
  55. 那么它们的边的比例也是相同的。
  56. 所以对这三个相似三角形，
  57. 你可以写出它们的边的表达式。
  58. 下一步，整理各项。
  59. 最后，将两式相加，化简得到
  60. ab²+ac²=bc²,
  61. 或a²+b²=c².
  62. 还有一种用了曲面细分法，
  63. 这是一种重复几何图案的 更加视觉化的证明。
  64. 你能看出这是怎么办到的吗？
  65. 如果你想花些时间思考一下， 请暂停视频。
  66. 这是答案。
  67. 深灰色正方形是a²，
  68. 浅灰色正方形是b²。
  69. 蓝色画出的正方形是c²。
  70. 每个蓝色画出的正方形 正好包含了一个深灰色正方形和
  71. 一个浅灰色正方形，
  72. 再次证明了毕达哥拉斯定理。
  73. 如果你真的想说服自己，
  74. 你可以建个转台， 上面有三个相同深度的正方形盒子，
  75. 它们考一个直角三角形相连。
  76. 如果你在最大的正方形内装满水， 并转动转台，
  77. 最大的正方形内的水会 正好装满另外两个小的正方形。
  78. 毕达 哥拉斯 定理 有 超过 350 个 证明方法 ，
  79. 既有 聪明 的 方法 也 有些 难懂 的
  80. 你能提出一个新的证明吗？