Ted talk · Section 1

柯尼斯堡七桥问题如何改变了数学

在现在的地图上，你很难找到哥尼斯堡这个城市但是它在地理上奇特之处

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在现在的地图上，你很难找到哥尼斯堡这个城市
但是它在地理上奇特之处
使得它在数学上成为最为著名的城市之一。
这个中世纪的德国城市坐落于普雷格尔河的两岸。
河的中央有两座大的岛屿。
这两座岛屿通过七座桥
与河的两岸以及与彼此连接。
后来成为附近小镇市长的数学家卡尔·戈特利布·埃勒，
对这些桥和岛屿十分着迷。
他一直在考虑一个问题：
哪一条路径可以使人穿过所有这七座桥
并且同一座桥只能经过一次？
思考一下。
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放弃了吗？
应该是的。
这是不可能的。
但是，大数学家莱昂哈德·欧拉在试图解释这个数学问题时，
开拓了一个新的数学领域。
卡尔向欧拉写信求助。
开始，欧拉认为这个问题和数学无关，所以不关心这个问题。
但是随着他对该问题的思考，
他越来越发现该问题有一定的意义。
他得出的答案与一类几何学相关
但当时并不存在，他称之为位置几何学，
就是现在著名的图论。
欧拉最初的想法
是进入岛屿或河岸和离开岛屿或河岸的路线
实际上并不重要。
这样，地图上便可以简化为四个岛
用四个简单的点表示，
我们现在称之为节点
它们之间的线或边代表桥。
这样，简化的图使我们比较容易计算每个节点的度，
即连接岛之间桥的数量。
为什么度很重要呢？
试想，根据这个问题的规定，
一旦有人想要通过一座桥到达一个岛屿，
他就必须通过另外的桥离开。
也就是说，在任何路线上，通往和离开每个节点的桥
必须是不同的桥，
这意味着连接每个岛的桥的数量
一定是偶数。
唯一可能的例外是在出发的位置
和离开的位置。
看下图，很明显所有四个节点的度都为奇数。
于是，无论选择什么样的路线，
在一些点上，一座桥势必会被经过两次。
欧拉用这个证明发展出了一个通用的理论，
适用于存在两个或两个以上节点的图。
每一个边仅经过一次的欧拉路径
只在两种情况下有可能。
第一，当仅有两个节点为奇数度时，
这意味着其它的都是偶数度。
这样，开始点就是奇数度的一个，
结束点是另外一个。
第二，当所有的节点都是偶数度时，
那么，欧拉路径就从同一个位置开始和结束，
这被称为欧拉回路。
那么，你怎么才能在格尼斯堡找到欧拉路径呢？
这很简单。
只要移走任一座桥。
事实说明，历史创造了欧拉路径。
二战期间，苏联空军摧毁了两个城市之间的一座桥，
这便创造出了欧拉路径。
虽然，公平来说，那本不是他们的目的
炸弹从地图上抹掉了格尼斯堡，
重建后成为俄罗斯加里宁格勒市。
所以尽管格尼斯堡和她的七座桥不再存在，
但是它们会因这个导致全新数学领域出现的谜团被历史记录下来。