Ted talk · Section 5
数学核心悖论：哥德尔不完备定理
思考 以下 句子 ： “ 这 句 话 是 错误 的 。 ” 这句话是正确的吗？
Level: HSK6 · 82 sentences
Transcript
- 思考 以下 句子 ： “ 这 句 话 是 错误 的 。 ”
- 这句话是正确的吗？
- 如果是的话， 那么这句话就是错误的。
- 如果不是的话， 那么这句话就是正确的。
- 通过引用本身， 这句话创造了一个无法解决的悖论。
- 如果 它 不是 正确 的 也 不是 错误 的 那么 它 是 什么 呢 ？
- 这个问题看起来像一个愚蠢的思维实验
- 但 在 20 世纪 早期 ， 它 使得 澳大利亚 逻辑学家 库尔特 哥德尔
- 作出了一个永远改变数学界的发现。
- 哥德尔的发现与数学证明的局限性有关。
- 证明是一种逻辑论证，被用来展示
- 为什么 关于 数字 的 表述 成立 。
- 建立 起 这些 论证 的 组成 部分 被 称为 公理
- 有关这些提及到的数字 不证自明的论述。
- 每一个建立在数学基础上的系统，
- 从最复杂的证明到基础运算，
- 都由公理推算而来。
- 如果一个关于数字的论述是正确的，
- 数学家就应该能够用公理证明它。
- 从古希腊起， 数学家用这个系统
- 来充分证明或证伪数学陈述。
- 但当哥德尔进入了这个领域后，
- 一些新发现的逻辑悖论 挑战了先前的充分性。
- 杰出的数学家们迫切地想证明
- 数学是没有矛盾性的。
- 哥德尔自己却没有那么确定。
- 而且他甚至对于数学是否是 解决这个问题正确的工具
- 更加没有信心。
- 尽管用一个文字来形成一个 自我引用的悖论相对简单，
- 数字通常不会引用自身。
- 一个数学论述就是简单的对或错。
- 但哥德尔有了一个想法。
- 首先，他把数学论述和等式 转化成了代码，
- 从而使得复杂的数学概念 可以用一数字进行表述。
- 这意味着用这些数字写成的数学语句
- 也表达了一些关于数学编码语句的内容。
- 以这种方式， 代码能让数学表述自身。
- 通过这个方式，他能够将：
- “这个论述无法被证明” 写作一个等式，
- 创造了第一个自我引用的数学论述。
- 然而，并不像那些启发他的 模棱两可的句子，
- 数学论述必须是正确或者错误。
- 因此它是哪个呢？
- 如果它是错误的， 那就意味着论述可以被证明。
- 但如果一个数学论述可以被证明， 那它一定是正确的。
- 这个矛盾意味着哥德尔的论述不能是错误的，
- 因此，“这个论述不能被证明” 是正确的。
- 然而这个结论其实更加令人讶异，
- 因为它意味着存在一个正确的数学等式
- 却无法被证明。
- 这个出乎意料的事实 正是“哥德尔不完备定理”的核心，
- 开启了一个全新的数学论述的阶段。
- 在哥德尔的范例中， 论述依旧是正确或者错误，
- 但正确的论述在给定的公理下
- 可证或不可证。
- 此外，哥德尔提出 这些不可证的正确论述
- 存在于每一个公理系统中。
- 如此一来就无法
- 用数学建立一个完美完满的系统，
- 因为永远会存在 无法被证明的正确论述。
- 即使你可以将这些无法被证明的论述
- 作为新的公理， 添加进已经很庞大的数学系统，
- 这个过程依旧会引入新的 无法被证明的正确论述。
- 无论你添加多少新的公理，
- 你的系统中永远会存在 无法被证明的正确论述。
- 哥德尔的理论永远成立！
- 这一发现震撼了数学领域的基础，
- 粉碎那些梦想总有一天 所有的数学论述
- 都会被证明或证伪的人。
- 尽管大部分数学家接受了这个全新的现实， 一些人满怀期待的想推翻它，
- 而剩下的则打心底里努力地去忽略 这个他们领域中全新的
- 无法被填补的窟窿。
- 不过当越来越多的经典问题被证明 它们是无法被证明的正确论述，
- 一些人开始担心 他们无法完成毕生的事业。
- 即便如此，哥德尔定理 打开的门和关闭的门一样多。
- 有关无法被证明的正确论述的知识
- 成为了早期电脑的关键创新启发。
- 而如今，一些数学家穷尽他们的职业生涯
- 试图去证明那些无法被证明的论述。
- 因此即使数学家可能丢失了一些必然性，
- 多亏了哥德尔， 他们得以以满心的期待
- 去拥抱未知。